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Cover:Joseph-Louis Lagrange(1736–1813)

FIRST PUBLISHED ON 26/1/2024 [UTC+8] QCMO$\copyright$,2024

$\S$0.0 引言

从初中乃至小学阶段开始，多项式一直都是我们了解大部分数学方法和知识的开端。而在高中阶段，我们深入学习了多项式函数包括单调性、奇偶性等性质，而在学习过程中我们一般使用的方法都是先给定一个函数，再要求对它的性质、图像进行研究或是求出含参多项式函数中的参数并对不同的参数取值范围进行分类讨论等。

这也就是说我们对于多项式函数的理解往往停留于给定一个多项式函数的表达式，再对这个函数进行研究。但是如果我们转换视角，对于一组给定的自变量值及其对应的因变量值，我们是否总是可以找到一个唯一对应的多项式函数契合所有取值呢？我们应该用什么方法来确定这个多项式函数呢？在这里，我们不对第一个问题做赘述，本文主要将通过尽可能平易简单、利于应用的方式介绍第二个问题的答案。本文的所有参考资料来源于中学数学实验教材[北师大出版社(1984)] 第四册上 原文将著于文末。

$\S$1.0 余式定理和因式定理概述

余式定理和因式定理这两个名字可能对于普通的数学学习者较为陌生，但是其本质内容却是所有数学学习者都十分熟悉的，下面将使用严谨的方式介绍余式定理和因式定理这两大代数中简单而又重要的定理，作为后续内容的预备知识。

$\S$1.1 余式定理

下面先给出余式定理的内容

余式定理 用一次多项式$(x-a)$去除多项式$f(x)$所得的余式是一个常数，这个常数就等于$f(a)$.

     证明：$f(x)$除以$(x-a)$，由带余除法得

$$ f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r $$

                 $q(x)$是商式，$r$是余数

对于多项式带余除法的定义，读者可自行回忆初中的辗转相处/长除法，大概内容即是用高次式子除以低次式子除到只剩数为止。